Question

已知曲线y=x² 在点（n，n²） 处的切线方程为，其中n∈N^*
（1）求a_n、b_n 关于n 的表达式；
（2）设，求证：；
（3）设，其中．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数求导可得y′=2x，根据导数的几何意义可求切线斜率k，进而可得切线方程，即可
（2）由，利用裂项求和可证
（3）由 可得，，由0＜λ＜1可得 可证
解答：解：（1）对函数求导可得y′=2x，根据导数的几何意义可得在点（n，n²）处的切线斜率k=2n
故所求切线方程为y-n²=2n（x-n） 即 
∴ 
（2） 
当n=1 时，左边= 右边，不等式成立；…（6分）
当n≥2 时， 
=
∴ 
（3） 
， 
∵0＜λ＜1，∴，∴ 
所以  

∵，＜1，
∴，
∴
∴
点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求解函数在一点的切线方程，数列求和的裂项求和及放缩法证明不等式的知识的综合应用