Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，则A₁C与DE所成的角的余弦为（　　）

• A．

  15

  15

• B．

  10

  15

• C．

  30

  6

• D．

  10

  10

Answer 1

分析：连接A₁B、AB₁交于点F，连接DF、EF、A₁D、BD，根据△A₁BC的中位线，得到∠DEF（或其补角）就是异面直线A₁C与DE所成的角．再设正方体棱长为2，根据正方体的性质，在△DEF中计算出各边的长，最后用余弦定理算出A₁C与DE所成的角的余弦．

解答：解：连接A₁B、AB₁交于点F，连接DF、EF、A₁D、BD
设正方体棱长为2，则对角线A₁C=

22+22+22

=2

3

∵△A₁BC中，E、F分别是BC、A₁B的中点
∴EF∥A₁C且EF=

1

2

A₁C=

3

∠DEF（或其补角）就是异面直线A₁C与DE所成的角
∵△A₁BD中，A₁D=DB=A₁B=

2

AB=2

2

∴△A₁BD是正三角形，可得中线DF=

3

2

DB=

6

∵Rt△CDE中，DE=

CD2+CE2

=

5

∴△DEF中，cos∠DEF=

3+5-6

2× 3 × 5

=

15

15

＞0
因此∠DEF为锐角，等于异面直线A₁C与DE所成的角．
即A₁C与DE所成的角的余弦为

15

15

故选A

点评：本题在正方体中求异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质、余弦定理和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．