Question

设函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ） 当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，求f（x）的解析式；
（Ⅲ） 将满足（Ⅱ）的函数f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移

1

2

个单位，得到函数g（x），求g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=π所围成图形的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先对三角函数进行恒等变换，进一步求出正弦型函数的周期，单调区间．
（Ⅱ）先根据函数的定义域来确定函数的值域，进一步确定函数的解析式
（Ⅲ）直接利用定积分只是求曲线围成的面积．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x+

cos2x+1

2

+a=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+a，
∴f（x）的最小正周期为π．
令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，
解得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z）
故函数f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)
（ II）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为2a+

3

2

由题意，2a+

3

2

=

3

2

，
∴a=0，
故f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

；
（ III） 函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

的图象向右平移

π

12

个单位，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移

1

2

个单位，得到函数g（x）=sinx
∴g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=π所围成图形的面积为：2

∫

π 2 0

sinxdx=-2cosx

|

π 2 0

=2：

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调区间，利用定义域确定的正弦型函数的值域来求解析式，函数图象的变换，利用定积分求曲线的面积．