Question

【题目】如图，四边形和四边形均是直角梯形， 二面角是直二面角， .

（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；
（2）可证，则以为坐标原点， 所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．利用空间向量可求二面角的余弦值

试题解析：（1）证明：由已知得平面平面，

所以平面，同理可得平面，

又,所以平面平面,

设平面平面，则过点，

因为平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，即在平面上一定存在过点的直线，使得.

（2）因为平面平面,平面平面,

又，所以，所以平面，

因为平面，所以，

因为,所以，

以为坐标原点， 所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，

如图，由已知得,

所以,

设平面的法向量为，则，

不妨设，则，

不妨取平面的一个法向量为，

所以，

由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为.