Question

【题目】已知函数为常数），曲线在与轴的交点 处的切线斜率为.

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）若，且，试证明： .

Answer 1

【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的， ，由曲线在与轴的焦点 处的切线斜率为，解得．通过，即可求解函数在区间上单调递减，在上单调递增．
（2）设，构造函数，分别根据函数的单调性，以及，且 即可证明．

试题解析：（1）由，得，

因为曲线在与轴的焦点A处的切线斜率为，

所以，所以，

所以，

由，得，

由，得，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）证明:设，所以，

，

令

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以在上单调递增，

又，所以当时， ，

即，所以，

又因为，所以，

由于，所以，

因为，由（1）知函数在区间上单调递增，

所以，即.