Question

在公差为d(d≠0)的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中,已知a₁=b₁=1,a₂=b₂,a₈=b₃.

(1)求d、q的值;

(2)是否存在常数a、b使得对于一切自然数n,都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在,求出a和b;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)∵a₁=b₁=1,a₂=b₂,a₈=b₃,

    ∴

    ∴或(舍去).

    (2)假设存在a、b使得a_n=log_ab_n+b对一切n∈N^*恒成立,则有1+5(n-1)=log_a6^n-1+b,即(5-log_a6)n-(4+b-log_a6)=0.

    ∵上式对任意n∈N^*恒成立,

    ∴

    解得a=,b=1.

讲评:在一定条件下,判断某种数学对象是否存在,解答此类问题,一般先假设要求(或证)的结论是存在的,然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去,如果畅通无阻,则存在,如果推理过程中,有问题或前后矛盾,则说明不存在.