Question

在公差为d(d≠0)的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃。

    (1)求d、q的值；

    (2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在，求出a和b，若不存在说明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵a1=b1=1，∴a2=1+d=b2=q，c8=1+7d=b3=q2，∴d=q－1且7d=q2－1； ∵d≠0，∴7=q+1， ∴q=6，d=5，∴an=5n－4，bn=6n－1。 (2)设存在常数a、b，使an=logabn+b对一切自然数n成立， 则5n－4=loga6n－1+b，即5n－4=nloga6－loga6+b， 比较系数，得loga6=5，b=1，∴a=6，b=1。