Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列的前n项和为T_n，试证明不等式＜1成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）先将题设中数列的和与项的关系式转化为数列的项的关系式，根据等差数列的定义证明即可；
（II）求出a_n，再求出数列的通项，用裂项相消法求出T_n，根据T_n的单调性证明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，当n≥2时，（a_n-1-1）（a_n-1+3）=4S_n-1，
两式相减，得，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
当n=1时，（a₁-1）（a₁+3）=4a₁，∴（a₁+1）（a₁-3）=0，又a₁＞0，∴a₁=3．
所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1．
设，n∈N^*；∵a_n=2n+1，∴
∴
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n==．
又∵，∴，
综上所述：不等式成立．
点评：本题考查裂项相消法求数列的和及利用定义证明等差数列．