Question

设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在函数y=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

的图象上，数列{b_n}的通项公式为bn=

an+1

an

+

an

an+1

，其前n项和为T_n．
（1）求a_n；   
（2）求证：T_n-2n＜2．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，知Sn-Sn-1=an=

1

8

（an2-an-12）+

1

2

（a_n-a_n-1），整理，得（a_n-a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，由a_n＞0，能求出a_n．
（2）由bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

4n+2

4n-2

+

4n-2

4n+2

=2+2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此能够证明T_n-2n＜2．

解答：解：（1）Sn=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，
n≥2，Sn-1=

1

8

an-12+

1

2

an-1+

1

2

，
Sn-Sn-1=an=

1

8

（an2-an-12）+

1

2

（a_n-a_n-1），
整理，得（a_n-a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=4，
由a1=

1

8

a12+

1

2

a1+

1

2

，解得a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，4为公差的等差数列，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

4n+2

4n-2

+

4n-2

4n+2

=2+2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（12分）
∴Tn-2n=2(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=2(1-

1

2n+1

)＜2．…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．