Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的零点；

（Ⅱ）若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；

（Ⅲ）若函数在区间上的最小值为，求实数的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1和3 （Ⅱ） （Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）代入a的值，令即可求得函数的零点.

（Ⅱ）根据可知函数的对称轴为，进而求得a的值，即可得到解析式.

（Ⅲ）讨论对称轴与区间的位置关系，结合单调性和最小值，即可求得a的值..

（Ⅰ）当时， ，

由可得或，所以函数的零点为1和3．

（Ⅱ）由于对任意实数恒成立，

所以函数图像的对称轴为，即，解得．

故函数的解析式为．

（Ⅲ）由题意得函数图像的对称轴为．

当，即时， 在上单调递减，

所以，解得．符合题意．

当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得，与矛盾，舍去．

当，即时， 在上单调递增，

所以，解得．符合题意．

所以或．