题目内容
【题目】已知
为椭圆
的右焦点，点
在
上，且
轴．
（1）求的方程；
（2）过的直线
交于
两点，交直线
于点
．判定直线
的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
【答案】（1）
； （2）见解析.
【解析】
（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆方程中a,b,c的关系，求出a2，b2的值，进而求得椭圆标准方程；
（2）联立椭圆方程和直线方程，利用一元二次方程的根与系数的关系，结合斜率公式，证得
，进而问题得证.
（1）因为点
在
上，且
轴，所以
,
由
，得
，
故椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线
的斜率存在，设直线的的方程为
，
令
，得
的坐标为
．
由
，得
．
设
，则有
．①
设直线
的斜率分别为
，
从而
．
因为直线
的方程为，所以
，
所以
． ②
把①代入②，得
．
又
，所以，故直线的斜率成等差数列．
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