Question

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．

   （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．

Answer 1

解：（I）由题意知，，所以．

因为

所以，

所以．

所以椭圆的方程为．

（II）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.

又，两点在椭圆上，

所以，．

所以点到直线的距离．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由消去得

．

由已知．

设，．

所以，．

因为，

所以．

所以．

即．

所以．

整理得，满足．

所以点到直线的距离

为定值．