Question

12．有下列结论，正确的序号为③④．
①存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$；
②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数且sinx＜0；
③函数y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；
④函数y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）是偶函数，且既有最大值，又有最小值．

Answer 1

分析 分别根据三角函数公式和性质进行判断即可得到结论．

解答 解：①∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），
∴当α∈（0，$\frac{π}{2}$），$α+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）∈（1，2]，
∴不存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$；故①错误；
②若y=cosx为减函数，则2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，
当2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z时，sinx≥0，
即不存在区间（a，b），使y=cosx为减函数且sinx＜0；故②错误；
③当x=-$\frac{π}{6}$时，y=4sin（-$\frac{π}{6}$×2+$\frac{π}{3}$）=4sin0=0，
则函数y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；故③正确，
④函数y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）=cos2x+cosx，则函数为偶函数，
又y=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴当cosx=1时，函数取得最大值，当cosx=-$\frac{1}{4}$时，函数取得最小值，故函数既有最大值，又有最小值．故④正确，
故正确的是③④，
故答案为：③④

点评 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握三角函数的公式和性质．考查学生的推理判断能力．