Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A、B两点。
（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）依题意，点N的坐标为，
可设
直线AB的方程为，与联立得
消去y得
由韦达定理得，
于是


∴当时，。
（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为，的中点为，
l与AC为直径的圆相交于点P，Q，
PQ的中点为H，
则，点的坐标为
∵，
，
∴，

∴
令，得，此时为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线。