Question

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（0，2）关于原点O对称，P是动点，AP⊥BP。
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与曲线C交于M、N两点，
ⅰ）若，求实数m取值；
ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆内，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵点B与点A（0，2）关于原点O对称，
∴B（0，-2），
由AA₁⊥BC知，点P的轨迹C是以原点O为圆心，以AB为直径的圆（不含A、B两点），
由OA=2，
故点P的轨迹C的方程为；
（Ⅱ）设直线：y=x+m与曲线C交于M（，）、N（，）两点，
联立方程组，得，
∴+=-m，·=，
∴+=-m，·=，
ⅰ）∵，
∴，即。
ⅱ）∵点A在以线段MN为直径的圆内，
∴，
∵
∴，
∴。