Question

19．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分别是A₁B₁，B₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，求BM与AN所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC₁为z轴，利用向量法能求出BM与AN所成的角的余弦值．

解答 解：以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设BC=CA=CC₁=2，
则B（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），
M（1，1，2），C₁（0，0，2），N（0，1，2），A（2，0，0），
$\overrightarrow{BM}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{AN}$=（-2，1，2），
设BM与AN所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{AN}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{|-2-1+4|}{\sqrt{6}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{18}$．
∴BM与AN所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{18}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．