题目内容

已知：函数 $数学公式$ ，数列{a_n}对n≥2，n∈N总有 $数学公式$ ；
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若数列{b_n}满足：①{b_n}为 $数学公式$ 的子数列（即{b_n}中的每一项都是 $数学公式$ 的项，且按在 $数学公式$ 中的顺序排列）②{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为 $数学公式$ ．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ （2分）
所以，{a_n}是以a₁=1为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，即 $\text{[math]}$ （n∈N^*）（4分）
（2）当n为偶数， $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ （6分）
当n为奇数，则n-1为偶数， $\text{[math]}$ （8分）
综上： $\text{[math]}$ （10分）
（3）设 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （k，p∈N^*）对任意的n∈N^*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1（12分）
当m=3时， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，成立（13分）
当m=5时， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 故不成立（14分）
m=7时， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，成立（15分）
当m≥9时， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，又因为k∈N^*，所以k=1，2，此时b₁=1或 $\text{[math]}$ 分别代入 $\text{[math]}$ ，得到q＜0不合题意（18分）
由此，满足条件（3）的{b_n}只有两个，即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （20分）
分析：（1）直接根据已知条件整理得到数列的递推关系式，进而得到数列的规律，即可求出{a_n}的通项公式．
（2）分n为偶数和n为奇数分别求和，最后再合并即可得到结论；
（3）先设 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ （k，p∈N^*）对任意的n∈N^*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1；再对m的取值进行讨论，即可得到所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式．
点评：本题是对数列知识的综合考查．其中涉及到数列的递推式，以及数列的求和，属于综合性题目，考查计算能力以及分析能力．