题目内容

已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N+)的图象与x轴，y轴无交点且关于原点对称，又有函数f（x）=x2-alnx+m-2在（1，2]上是增函数，g（x）=x-a
x
在（0，1）上为减函数．
①求a的值；
②若
1
p(x)
=2f′(x)-2x+
5
x
+1，数列{an}满足a1=1，an+1=p（an），（n∈N+），数列{bn}，满足bn=
1
2
anan+13n，sn=b1+b2+b3+…+bn，求数列{an}的通项公式an和sn．
③设h(x)=f′(x)-g(x)-2
x
+
3
x
，试比较[h（x）]n+2与h（xn）+2n的大小（n∈N+），并说明理由．
分析：①由幂函数的定义和已知条件求得正整数m=2．根据f′（x）=2x-
a
x
≥0对于区间（1，2]恒成立，求得a≤2．再根据g′（x）=1-
a
2
x
≤0对于区间（0，1）恒成立，求得 a≥2．综上，可得a的值．
②由p（x）=
x
x+3
，可得
1
an+1
+
1
2
=3（
1
an
+
1
2
），故数列{
1
an
+
1
2
}是公比为3的等比数列，且首项为
3
2
．根据等比数列的通项公式求得 an=
2
3n-1
．再由 bn=
1
2
anan+13n=
1
3n-1
-
1
3n+1-1
，用裂项法求得Sn=b1+b2+b3+…+bn的值．
③根据h（x）=x+
1
x
，当n≥2时，[h（x）]n-h（xn）=(x+
1
x
)n-（xn+
1
xn
） 利用二项式定理化为=
1
2
[
C
1
n
（xn-2+
1
xn-2
）+
C
2
n
（xn-4+
1
xn-4
）+…+
C
n-1
n
（x2-n+
1
x2-n
）]≥
C
1
n
+
C
2
n
+
C
3
n
+…+
C
n-1
n
=2n-2，即可比较比较[h（x）]n+2≥h（xn）+2n的大小（n∈N+）．
解答：解：①由幂函数的定义和已知条件可得m2-2m-3为负奇数，故有正整数m=2．
由于函数f（x）=x2-alnx+m-2在（1，2]上是增函数，故f′（x）=2x-
a
x
≥0对于区间（1，2]恒成立，∴a≤2．
由g（x）=x-a
x
在（0，1）上为减函数，可得g′（x）=1-
a
2
x
≤0对于区间（0，1）恒成立，∴a≥2．
综上，可得 a=2．
②∵p（x）=
x
x+3
，∴an+1=
an
an+3
，∴
1
an+1
+
1
2
=3（
1
an
+
1
2
），故数列{
1
an
+
1
2
}是公比为3的等比数列，且首项为
3
2
．
∴an+
1
2
=
3
2
•3n-1，∴an=
2
3n-1
．
再由 bn=
1
2
anan+13n=
2×3n
(3n-1)(3n+1-1)
=
1
3n-1
-
1
3n+1-1
，可得
Sn=b1+b2+b3+…+bn，=（
1
3-1
-
1
32-1
）+（
1
32-1
-
1
33-1
）+（
1
33-1
-
1
34-1
）+…+（
1
3n-1
-
1
3n+1-1
）=
1
2
-
1
3n+1-1
．
③设h(x)=f′(x)-g(x)-2
x
+
3
x
=（x2-2lnx）′-x+2
x
-2
x
+
3
x
=x+
1
x
，
当n≥2时，[h（x）]n-h（xn）=(x+
1
x
)n-（xn+
1
xn
）=
C
0
n
•xn-0•(
1
x
)0+
C
1
n
•xn-1•(
1
x
)1+
C
2
n
•xn-2•(
1
x
)2+…+
C
n
n
•xn-n•(
1
x
)n-（xn+
1
xn
）
=
C
1
n
•xn-2+
C
2
n
•xn-4+
C
3
n
•xn-6+…+
C
n-1
n
•x2-n=
1
2
[
C
1
n
（xn-2+
1
xn-2
）+
C
2
n
（xn-4+
1
xn-4
）+…+
C
n-1
n
（x2-n+
1
x2-n
）]
≥
C
1
n
+
C
2
n
+
C
3
n
+…+
C
n-1
n
=2n-2，
试比较[h（x）]n+2≥h（xn）+2n的大小（n∈N+）．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，用裂项法进行数列求和，求函数的导数，比较两个式子的大小的方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．
（1）求m的值；
（2）求满足(a+1)-
m
3
＜(3-2a)-
m
3
的a的取值范围．
已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)
m
3
＜(3-2a)
m
3
的实数a的取值范围．
已知幂函数y=xm2-m-6(m∈Z)的图象与x轴无公共点，则m的值的取值范围是（　　）
已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，则m=
-1、1、3
-1、1、3
．
已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求实数m的值．

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