Question

8．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{-{2^x}+a}}{{{2^x}+1}}$是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）用定义证明：f（x）在R上是减函数；
（3）若对于任意$x∈[\frac{1}{2}，3]$都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为R上的奇函数，从而有f（0）=0，这样便可求出a=1；
（2）可求得$f（x）=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根据减函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性便可证明f（x₁）＞f（x₂），这样即可证出f（x）在R上是减函数；
（3）根据f（x）为R上的奇函数且为减函数便可由条件得出$k＜\frac{1-2x}{{x}^{2}}$对任意的$x∈[\frac{1}{2}，3]$恒成立，可设g（x）=$（\frac{1}{x}）^{2}-2•\frac{1}{x}$，并可令$\frac{1}{x}=t，t∈[\frac{1}{3}，2]$，从而可得到$h（t）={t}^{2}-2t，t∈[\frac{1}{3}，2]$，这样便可求出h（t）在$[\frac{1}{3}，2]$的最小值，即得出g（x）的最小值，从而便可得出k的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）是奇函数且定义域为R可得f（0）=0；
即$\frac{-1+a}{2}=0$；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$；
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=-1+\frac{2}{{{2^x}+1}}$，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂，y=2^x在R上递增；
∴${2}^{{x}_{2}}＞{2}^{{x}_{1}}$＞0；
${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，${2^{x_1}}+1＞1$，${2^{x_2}}+1＞1$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递减；
（3）因f（x）是奇函数，从而不等式：f（kx²）+f（2x-1）＞0等价于f（kx²）＞f（1-2x）；
因f（x）为减函数，由上式推得：kx²＜1-2x；
即对一切$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$有：$k＜\frac{1-2x}{{x}^{2}}$恒成立；
设$g（x）=\frac{1-2x}{{x}^{2}}=（\frac{1}{x}）^{2}-2•\frac{1}{x}$，令$\frac{1}{x}=t$，t$∈[\frac{1}{3}，2]$；
则有$h（t）={t^2}-2t，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$；
∴g（x）_min=h（t）_min=g（1）=-1；
∴k＜-1，即k的取值范围为（-∞，-1）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的单调性，以及减函数的定义，利用减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，不等式的性质，换元法的应用，求二次函数在闭区间上最值的方法．