Question

已知cosα=

1

3

，cos(α+β)=-

1

3

，且α，β∈(0，

π

2

)，求tanβ的值．

Answer 1

分析：发现β=（α+β）-α，考虑sin[（α+β）-α]与cos[（α+β）-α]的展开式，结合条件只需求得sinα与sin（α+β）的值即可．

解答：解：∵α∈(0，

π

2

)，而cosα=

1

3

，∴sinα=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，又α，β∈(0，

π

2

)，
知α+β∈（0，π），而cos(α+β)=-

1

3

，∴sin(α+β)=

1-(- 1 3 )2

=

2 2

3

，
∴sinβ=sin[(α+β)-α]=

2 2

3

×

1

3

-(-

1

3

)×

2 2

3

=

4 2

9

，
cosβ=cos[(α+β)-α]=(-

1

3

)×

1

3

+

2 2

3

×

2 2

3

=

7

9

，
于是tanβ=

4 2

7

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，将cos(α+β)=-

1

3

展开，难以求得sinβ与cosβ的值，于是转为考虑角的变换．仔细分析题目的条件，是解题好坏的关键．β=（α+β）-α是角的变化技巧．