Question

函数f(x)=

10x+10-x

10x-10-x

的定义域为

 

，值域为

 

．

Answer 1

分析：把函数f（x）的解析式化简，得到y=

102x+1

102x-1

；由分母不为0，得自变量x的取值范围；求函数y的值域，可以先用y表示x，这样含y的解析式中y的取值范围即是所求函数y的值域．

解答：解：由题意，函数y=f（x）=

10x+10-x

10x-10-x

=

102x+1

102x-1

，分母不为0，
∴10^2x-1≠0，
∴x≠0；
所以函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
令y=

102x+1

102x-1

，
∴y（10^2x-1）=10^2x+1，
∴10^2x（y-1）=y+1，
∴102x=

y+1

y-1

，
∴x=

1

2

lg

y+1

y-1

；
由对数的定义知，

y+1

y-1

＞0，解得，y＜-1或y＞1；所以函数f（x）的值域为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（0，+∞）；（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了指数函数，对数函数的定义域和值域的问题，对于不容易求值域的函数，通常先用y表示x，则含y的解析式中y的取值范围即是所求函数y的值域（反函数法）．