题目内容

给定函数f(x)=
10x-10-x2
．
（1）求f-1（x）；
（2）判断f-1（x）的奇偶性，并证明你的结论．
分析：（1）欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性．
解答：解：（1）令y=
10x -10-x 
2
，
解得10x=y±
y2+1
．
又10x＞0，
所以10x=y+
y2+1
，
则x=lg(y+
y2+1
)，
故  f-1(x)=lg(x+
x2+1
)．
（2）因为f-1(-x)=lg(-x+
x2+1
)
=lg
1
x+
x2+1

=-lg(x+
x2+1
)
=-f-1（x），
又其定义域为R，关于原点对称．
所以f-1（x）为奇函数．
点评：本题考查反函数的求法、函数的奇偶性，是指数、对数函数图象与性质的综合应用，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数．
练习册系列答案
相关题目
（2011•广东模拟）给定函数f(x)=
x2
2(x-1)

（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负的数列{an}满足，4Sn•f(
1
an
)=1，求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）设bn=-
1
an
，Tn为数列 {bn} 的前n项和，求证：T2012-1＜ln2012＜T2011．
（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
；
（2）计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f（
2012
2013
）=
2012
2012
．
给定函数f(x)=
x3
3
-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+
a2
x

（I）求证：f（x）总有两个极值点；
（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．
给定函数f(x)=
∫
x
0
(2t-m)dt+2m-3（x＞0，m为实常数），g(x)=
5
2
x3，
（Ⅰ）若函数f（x）在[2，4]上的最大值为1，求实数m的取值集合A；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若g（x）≥ax在区间[
2
2
，
2
]上恒成立时实数a的取值集合为B，全集为R，
求（?RA）∩（?RB）．

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