Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）当x≠0时，求证：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，可得当x≠0时，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，相加可得答案；
（2）根据（1）中结论，利用分组求和法，可得答案．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
∴当x≠0时，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{（\frac{1}{x}）}^{2}}{1+{（\frac{1}{x}）}^{2}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1
解：（2）由（1）得：f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+[f（4）+f（$\frac{1}{4}$）]=$\frac{1}{2}$+1+1+1=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的值，其中得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是解答的关键．