Question

6．若圆x²+y²-2x+2y+2-k²=0有且仅有两点到直线4x+3y-11=0的距离等于1，则正数k的取值范围为1＜k＜3．

Answer 1

分析 圆（x-1）²+（y+1）²=k²上有且仅有两个点到直线4x+3y-11=0的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围．

解答 解：圆x²+y²-2x+2y+2-k²=0可化为圆（x-1）²+（y+1）²=k²的圆心坐标（1，-1），
圆心到直线的距离为：$\frac{|4-3-11|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2，
又圆（x-1）²+（y+1）²=k²上有且仅有两个点到直线4x+3y-11=0的距离等于1，满足|k-2|＜1，解得1＜k＜3．
故k的取值范围是1＜k＜3，（如图）
故答案为：1＜k＜3．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，是中档题．