Question

5．方程x²-1=3x的两根为x₁，x₂，则①x₁+x₂=3；②x₁x₂=-1；③$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-3；④x₁²+x₂²=11；⑤|x₁-x₂|=$\sqrt{13}$；⑥x₁²-3x₁=1；⑦x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=3；⑧$\frac{1}{{{x}_{1}}^{3}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{3}}$=-36．

Answer 1

分析 利用韦达定理，求出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=3  x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-1，①②③可直接展开求解；④⑤利用|x₁-x₂|=$\sqrt{{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$公式进行求解；⑥⑦根据方程，直接代入求解；．
结合问题形式，⑧通分求解．

解答 解：由韦达定理，求出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=3  x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-1切两根异号
①x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=3
②x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-1
③$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-3
④x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11
⑤|x₁-x₂|=$\sqrt{{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{13}$
⑥x₁²-3x₁=1
⑦x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=3
⑧$\frac{1}{{{x}_{1}}^{3}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{3}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}}{{{x}_{1}}^{3}{{x}_{2}}^{3}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）}{{{x}_{1}}^{3}{{x}_{2}}^{3}}$=-36

点评 此题考察了韦达定理的应用，是常规考题，用到最基础技能和方法，应熟练掌握．