Question

已知函数

(1)求在点处的切线方程；

(2)证明：曲线与曲线有唯一公共点；

(3)设，比较与的大小, 并说明理由.

 

Answer 1

(1)

【解析】

试题分析：(1)首先求出，令，即可求出在点处的切线方程的斜率，代入点斜式即可求出切线方程

(2)令 则，根据，讨论在上单调递增，所以，所以在上单调递增，

，又，即函数有唯一零点，所以曲线与曲线有唯一公共点.

(3)作差得，令,讨论， 的单调性，得到在上单调递增，而，所以在上，可得时，

（1) ，则，点处的切线方程为：,

(2) 令 ，，则，

且，，

因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以，所以在上单调递增，又，即函数有唯一零点，

所以曲线与曲线有唯一公共点.

(3) 设

令且，则

，所以 在上单调增，且 ，

因此，在上单调递增，而，所以在上

即当时，且，

所以，

所以当时，

考点：导数在研究函数时的应用，曲线的切线方程