Question

已知函数，（其中为常数）；

（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值；

（Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（I），则，

令，得或，而在处有极大值，∴，或；综上：或．  

（II）假设存在，即存在，使得

，

当时，又，故，则存在，使得，                        

 当即时，得，； 

 当即时，得，

无解；综上：．                      

（III）据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．

（ⅰ）有2个不同的实根，只需满足；

（ⅱ）有3个不同的实根，

当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；

当即时，不符合题意，舍；

当即时，在处取得极大值，；所以；                                  

因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；（注：也对）

下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；

若存在使得，

由，即，得，

当时，，不符合，舍去；

当时，既有   ①；

又由，即  ②；    联立①②式，可得；

而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．

综上，当时，函数有5个不同的零点．