Question

已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到定直线x=-2的距离小1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）在轨迹C上是否存在两点M、N，使这两点关于直线l：y=kx+3对称，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解（1）由题意可知，动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
∴

p

2

=1?p=2，
∴轨迹方程为y²=4x．
（2）易知k=0时不符合题意，应舍去．
当k≠0时，设点M(

y 21

4

，y1)，N(

y 22

4

，y2)关于直线l：y=kx+3对称，MN的中点为Q（x_°，y_°），则

y2-y1

y 22 4 - y 21 4

=-

1

k

?y1+y2=-4k?y°=-2k，
∵Q（x₀，y₀）在直线l上，
∴y₀=kx₀+3，∴x0=-

2k+3

k

．
∵点Q在抛物线的内部，∴y02＜4x0．
即(-2k)2＜4×(-

2k+3

k

)?

k3+2k+3

k

＜0?

(k+1)(k2-k+3)

k

＜0．
∵k2-k+3=(k-

1

2

)2+

11

4

＞0恒成立，∴

k+1

k

＜0，
∴k（k+1）＜0，解得-1＜k＜0．
∴k的取值范围是（-1，0）．