Question

已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（I） 求动点P的轨迹C的方程；
（II） 试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0），建立方程，化简可得结论；
（Ⅱ）对λ分类讨论，考虑λ＞0；-1＜λ＜0；λ=-1；λ＜-1，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以k_PM•k_PN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，整理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）（4分）
（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论思想的运用，属于中档题．