题目内容

已知椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1，设M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1，A点满足
OM
+
ON
=λ
OA
（λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k2，求k1+k2的值．
考点：椭圆的应用
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意，
OM
=（x1，y1），
ON
=（x2，y2），又由
OM
+
ON
=λ
OA
（λ≠0），k1=
y2-y1
x2-x1
，k2=
y1+y2
x1+x2
，化简可得k1+k2=-
3
sinβcosβ-sinacosa
cos2a-cos2β
．
解答： 解：由题意，
OM
=（x1，y1），
ON
=（x2，y2）；
∵
OM
+
ON
=λ
OA
（λ≠0），
∴
OA
=
1
λ
（
OM
+
ON
）
=
1
λ
（x1+x2，y1+y2），
∴k1=
y2-y1
x2-x1
，k2=
y1+y2
x1+x2
，
∴k1+k2=
y2-y1
x2-x1
+
y1+y2
x1+x2

=
1
(x2-x1)(x2+x1)
[（y2-y1）（x1+x2）+（y2+y1）（x2-x1）]
=2
1
(x2-x1)(x2+x1)
（y2x2-y1x1）
设x1=2cosa，y1=
3
sina，x2=2cosβ，y2=
3
sinβ，
则2
1
(x2-x1)(x2+x1)
（y2x2-y1x1）
=-
3
sinβcosβ-sinacosa
cos2a-cos2β
．
点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系，同时考查了直线的斜率，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
将弧度转化成角度：
2
3
π=
 
．
某企业在第一年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价格比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，若第n年初M的价值为an
（1）求a3a7；
（2）求第n年初M的价值的表达式an；
（3）求数列an的前n项和Sn．
我们知道，若a、b∈R+，则有不等式（
a
+
b
2
）2≤
a+b
2
成立（当且仅当a=b时等号成立），从（
a
+
b
2
）2-
a+b
2
=
a+b+2
ab
4
-
a+b
2
=-
(
a
-
b
)2
4
≤0易证，对此不等式可考虑从指数和元数上分别进行推广，得到：
①若a、b∈R，则（
a+b
2
）2≤
a2+b2
2
；
②若a、b∈R，则（
a+b
2
）2≤
a3+b3
2
；
③若a、b∈R，则（
a+b
2
）4≤
a4+b4
2
；
④若a、b、c∈R，则（
a+b+c
3
）2≤
a2+b2+c2
3
；
⑤若a、b、c∈R，则（
a
+
b
+
c
3
）2≤
a+b+c
3
．
其中正确的是
 
（把你认为正确的结论的序号都填上）
已知f（x）是定义在R上的奇函数，函数F（x）=f（tanx）．
（1）判断F（x）的奇偶性并加以证明；
（2）求证：方程F（x）=0至少有一个实根．
如图，椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A、B两点．
（1）求△ABF2的周长；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
在空间四边形ABCD中，如图所示.
AE
AB
=
AH
AD
，
CF
CB
=
CG
CD
，则EH与FG的位置关系是
 
．
下列命题中，错误的是（　　）
A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个面相交
B、平行于同一平面的两条直线不一定平行
C、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面
D、若直线l不平行于平面α内不存在与l平行的直线
球的体积是
32
3
π，则此球的表面积是
 
．

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