Question

某企业在第一年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价格比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，若第n年初M的价值为a_n
（1）求a₃a₇；
（2）求第n年初M的价值的表达式a_n；
（3）求数列a_n的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列，当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

3

4

的等比数列，由此能求出a₃a₇．
（2）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列，当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

3

4

的等比数列，由此能求出第n年初M的价值的表达式a_n．
（3）由等差及等比数列的求和公式能求出数列a_n的前n项和S_n．

解答： 解：（1）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列．
∴a₃=120-10（3-1）=100，
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

3

4

的等比数列，
∴a₇=70×(

3

4

)7-6=

105

2

，
∴a₃a₇=100×

105

2

=5250．
（2）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列．
a_n=120-10（n-1）=130-10n．
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

3

4

的等比数列，
又a₆=70，∴an=70×(

3

4

)n-6．
∴第n年初，M的价值a_n的表达式为：
an=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

．
（3）由等差及等比数列的求和公式得：
当1≤n≤6时，S_n=130n-10（1+2+3+…+n）
=130n-10×

n(n+1)

2

=125n-5n²．
当n≥7时，S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×

3

4

×4×[1-(

3

4

)n-6]
=780-210×(

3

4

)n-6．
∴S_n=

125n-n2，1≤n≤6 780-210×( 3 4 )n-6，n≥7

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．