题目内容
顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点，点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影．准线l与x轴的交点为E．（1）求抛物线C的标准方程；
（2）某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下，得到了关于抛物线C性质的如下猜想：“直线AN和BM恒相交于原点O”，试证明该结论是正确的；
（3）该小组孩项研究抛物线C中∠AEB的大小范围，试通过计算
的结果来给出一个你认为正确的与∠AEB有关的推论，并说明理由．
【答案】分析：（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）由抛物线C过点P（4，4）可求p，进而可求抛物线方程
（2）可证当 x1≠x2时，kOA=kON，说明A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程，结合方程的根与系数关系可求，当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
解答：解：（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）
∵抛物线C过点P（4，4）∴p=2
∴y2=4x
（2）当 x1≠x2时，kOA=kON，所以此时A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），
当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
所以
当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
综上，可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”
点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题．
（2）可证当 x1≠x2时，kOA=kON，说明A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程，结合方程的根与系数关系可求，当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
解答：解：（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）
∵抛物线C过点P（4，4）∴p=2
∴y2=4x
（2）当 x1≠x2时，kOA=kON，所以此时A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），
当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
所以
当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
综上，可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”
点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题．
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已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是
，则抛物线的方程是（ ）
| 10 |
| A、y2=-x或y2=5x |
| B、y2=-x |
| C、y2=x或y2=-5x |
| D、y2=5x |