Question

已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．

Answer 1

分析：先设出抛物线的标准方程和直线l的方程，根据A'、B'分别是A、B关于l的对称点，进而可知A'A⊥l，进而可得直线A'A的方程，把两直线方程联立求得交点M的坐标，进而根据M为AA'的中点，求得A'点的坐标和B'的坐标，分别代入抛物线方程求得p的表达式，最后联立求得k，进而求得p，则直线和抛物线的方程可得．

解答：解：依题设抛物线C的方程可写为
y²=2px（p＞0），
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为
y=kx（k≠0）．①
设A'、B'分别是A、B关于l的对称点，因而A'A⊥l，直线A'A的方程为y=-

1

k

(x+1)②
由①、②联立解得AA'与l的交点M的坐标为(-

1

k2+1

，-

k

k2+1

)．
又M为AA'的中点，从而点A'的坐标为
x_A'=2(-

1

k2+1

)+1=

k2-1

k2+1

，
y_A'=2(

-k

k2+1

)+0=-

2k

k2+1

．③
同理得点B'的坐标为
x_B'=

16k

k2+1

，y_B'=

8(k2-1)

k2+1

．④
又A'、B'均在抛物线y²=2px（p＞0）上，由③得(-

2k

k2+1

)2=2p•

k2-1

k2+1

，由此知k≠±1，
即p=

2k2

k4-1

⑤
同理由④得(

8(k2-1)

k2+1

)2=2p•

16k

k2+1

．
即p=

2(k2-1)2

(k2+1)k

．
从而

2k2

k4-1

=

2(k2-1)2

(k2+1)k

，
整理得k²-k-1=0．
解得k1=

1+ 5

2

，k2=

1- 5

2

.
但当k=

1- 5

2

时，由③知xA′=-

5

5

＜0，
这与A'在抛物线y²=2px（p＞0）上矛盾，故舍去k2=

1- 5

2

．
设k=

1+ 5

2

，则直线l的方程为y=

1+ 5

2

x．
将k=

1+ 5

2

代入⑤，求得p=

2 5

5

．
所以直线方程为y=

1+ 5

2

x．
抛物线方程为y2=

4 5

5

x．

点评：本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．