Question

已知数列{a_n}是首项a₁＞1，公比q＞0的等比数列．设b_n=log₂a_n（n∈N^*），且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为S_n，求当

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大时n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，利用等比数列的通项公式与对数的运算性质，判断分析后可得q=

1

2

，a₁=16，于是可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n=log225-n=5-n，易知，{b_n}是首项为4，公差为-1的等差数列，从而可求得S_n=

9n-n2

2

，

Sn

n

=

9-n

2

，继而可知{

Sn

n

}是首项为4，公差为-

1

2

的等差数列，从而可求得

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）b₁+b₃+b₅=log₂（a₁a₃a₅）=log2(a13q6)=6⇒a13q⁶=2⁶⇒a₁q²=4，
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁≠0，
又b₁b₃b₅=0，若b₃=0，则log₂a₃=log2(a1q2)=0，即a₁q²=0，这与a₁q²=4矛盾，
故b₅=log2(a1q4)=0⇒a₁q⁴=1．
∴q²=

1

4

，q=

1

2

，a₁=16．
∴a_n=16•(

1

2

)n-1=2^5-n．
（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n=log225-n=5-n，∴{b_n}是首项为4，公差为-1的等差数列，
∴S_n=

9n-n2

2

，

Sn

n

=

9-n

2

．
故{

Sn

n

}是首项为4，公差为-

1

2

的等差数列．∵n≤8时，

Sn

n

＞0；
n=9时，

Sn

n

=0； n＞9时，

Sn

n

＜0．故当n=8或n=9时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定，求得a_n=2^5-n是关键，考查运算求解能力，属于中档题．