Question

已知，a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（1）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（2）设a≠0，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围．（用a表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）化简函数f（x）的解析式为-+，分∈[1，2]、＞2 两种情况，分别求出它的最小值．
（2）a≠0，f（x）=，分a＞0和a＜0两种情况，分别画出函数f（x）的图象，结合图象，根据题中要求，分别求出m、n的取值范围．
解答：解：（1）∵a＞2，x∈[1，2]，∴f（x）=x|x-a|=-x²+ax=-+．
由于 4≥a＞2，即当∈[1，2]时，则当 x= 时，f_min（x）=．
当＞2 时，即a＞4时，f（x）在∈[1，2]上是减函数，
当x=2时，f（x）有最小值为f_min（x）=-+=2a-4．
综上可得，f_min（x）=．
（2）a≠0，f（x）=．
①当a＞0时，f（x）的图象如图1所示：由，解得x=，
由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜，a＜n≤．
   图1  图2 
 
②当a＜0时，如图2所示：由 解得 x=．

由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有 ≤m＜a，＜n≤0．
点评：本题主要考查带有绝对值的函数图象和性质，二次函数的性质应用，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，属于中档题