题目内容
3．已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0，f（x）≥f（1），则（ ）| A． | lna＜-2b | B． | lna≤-2b | C． | lna＞-2b | D． | lna≥-2b |
分析 由f（x）≥f（1），知x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）=0，从而得到b=1-2a，-2b=-（2-4a），作差：lna-（-2b）=lna+2-4a，所以构造函数g（x）=lnx+2-4x，通过导数可求得g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜-（2-4a）=-2b，即lna＜-2b．
解答 解：f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$，
由题意可知，f（x）在x=1处取得最小值，即x=1是f（x）的极值点；
∴f′（1）=0，∴2a+b=1，即b=1-2a；
令g（x）=2-4x+lnx（x＞0），则g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$；
∴当0＜x＜$\frac{1}{4}$时，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增；
当x＞$\frac{1}{4}$时，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{1}{4}$，+∞）上单调递减；
∴g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1+ln$\frac{1}{4}$=1-ln4＜0；
∴g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0；
故lna＜-2b，
故选：A．
点评 考查最值的概念，极值的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，通过构造函数比较两个式子大小的方法．
练习册系列答案
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2．设单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为（ ）
| A． | -$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | B． | -$\frac{2\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ |
11．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log3x）=4，则不等式f（a2+2a）＞4的解集为（ ）
| A． | {a|a＜-3或a＞1} | B． | {a|a＞1} | C． | {a|-3＜x＜1} | D． | {a|a＜-3} |
如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M、N分别为线段BC、CD上的点，且满足$\frac{1}{C{M}^{2}}$$+\frac{1}{C{N}^{2}}$=1，若$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AM}$+y$\overrightarrow{AN}$，则x+y的最小值为$\frac{5}{4}$．