Question

如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．

(1)求证：PA⊥EF；

(2)求二面角D－FG－E的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　证法1：∵平面，平面，∴． 　　又为正方形，∴． 　　∵，∴平面．……………………3分 　　∵平面，∴． 　　∵，∴．…………………………………6分 　　证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 　　则，，，，，．…………………………………………………4分 　　∵， 　　∴．………………………………………6分 　　(2) 　　解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 　　则，，，， 　　，，．………………8分 　　设平面DFG的法向量为， 　　∵ 　　令，得是平面的一个法向量．…………10分 设平面EFG的法向量为， 　　∵ 　　令，得是平面的一个法向量．……………12分 　　∵． 　　设二面角的平面角为θ，则． 　　所以二面角的余弦值为．……………14分 　　解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 　　则，，，，，，，，．………………………………8分 　　过作的垂线，垂足为， 　　∵三点共线，∴， 　　∵，∴， 　　即，解得． 　　∴．…………10分 　　再过作的垂线，垂足为， 　　∵三点共线，∴， 　　∵，∴， 　　即，解得． 　　∴．…………………………12分 　　∴． 　　∵与所成的角就是二面角的平面角， 　　所以二面角的余弦值为．………………14分