Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\|{{{log}_2}x}|\end{array}\right.\begin{array}{l}{，x≤0}\\{，x＞0}\end{array}$，若关于x的方程f（f（x）+m）-1=0有5个不同的实数根，则实数m的取值范围为$（0，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 由题意，f（x）+m=0或f（x）+m=2或f（x）+m=$\frac{1}{2}$，利用关于x的方程f（f（x）+m）-1=0有5个不同的实数根，可得$\left\{\begin{array}{l}{-m＜0}\\{0＜\frac{1}{2}-m＜1}\\{2-m＞1}\end{array}\right.$，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意，f（x）+m=0或f（x）+m=2或f（x）+m=$\frac{1}{2}$，
∵关于x的方程f（f（x）+m）-1=0有5个不同的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m＜0}\\{0＜\frac{1}{2}-m＜1}\\{2-m＞1}\end{array}\right.$
∴m∈$（0，\frac{1}{2}）$．
故答案为$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查分段函数，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．