题目内容
已知直角梯形
中，
，
过
作
，垂足为
，
分别为
的中点，现将
沿
折叠使二面角
的平面角的正切值为
.
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成的角的余弦值；
（3）求二面角
的大小．
中，
，
过
作
，垂足为
，
分别为
的中点，现将
沿
折叠使二面角
的平面角的正切值为
.（1）求证：
平面
；（2）求异面直线
与
所成的角的余弦值；（3）求二面角
的大小．
（1）见解析（2）
（3）
（3）
（1）取
中点
，连接
，
，又
为
中点
，
平面，
平面，
， 同理可证 
，
平面，
平面
平面， 
平面
平面．
（2）延长
，过
作
垂直直线
于
，易证
平面
，
，
，二面角的平面角的正切值为，∴
∵
，∴
，
，过点做
，以
为原点，以射线
分别为
的正方向建立直角坐标系
（如图）
则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
∴异面直线与所成的角余弦值为．
（3）取
中点
，易证
平面，所以面一个法向量为
，
，设平面
的法向量为
则
，
取
得
得平面的一个法向量为
∴
∴二面角的大小为．
中点
，连接
，
，又
为
中点
，
平面，
平面，
， 同理可证 
，
平面，
平面
平面， 
平面
平面．（2）延长
，过
作
垂直直线
于
，易证
平面
，
，
，二面角的平面角的正切值为，∴
∵
，∴
，
，过点做
，以
为原点，以射线
分别为
的正方向建立直角坐标系
（如图）则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
， ∴异面直线
与所成的角余弦值为．
（3）取
中点
，易证
平面，所以面一个法向量为
，
，设平面
的法向量为
则
，取
得
得平面的一个法向量为
∴
∴二面角
的大小为．
练习册系列答案
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如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2，平面A1ACC1⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A1AC＝60°，点O为底面对角线AC与BD的交点.
的三视图如图所 示，其中
分别是
五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影，且在主视图中，四边形
为正方形且
；在左视图中
俯视图中
，
作平面
的垂线，若垂足H在直线
上，求证：平面
⊥平面
；
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（2）在四棱锥G—ABCD中，过点B作平面
平面
的大小