Question

【题目】己知函数.

（1）若，解不等式；

（2）如果对于，恒有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）分类讨论，求解对应情况下的不等式，再取每种情况下不等式解集的并集即可；

（2）根据不等式恒成立，对自变量的取值进行进行分类讨论，将问题转化为区间上的恒成立问题，从而求解出参数的取值范围.

（1）当时，

①当时，

不等式等价于，解得，

与取交集可得不等式的解集为；

②当时，

不等式等价于，显然不成立，

故不等式的解集为；

③当时，

不等式等价于，解得，

与取交集可得不等式的解集为.

综上所述，不等式的解集为.

（2）等价于恒成立，

①当时，

不等式等价于

因为，对任意的恒成立，

显然；

②当时，

不等式等价于

因为，

故也等价于或在区间上恒成立，

对，即，在区间上恒成立，

也即，解得；

对，即，在区间上恒成立，

解得；

则当时，要满足题意，

③当时，

不等式等价于，

因为，

故也等价于或在区间上恒成立，

对，即，在区间上恒成立，

也即，因为在区间没有最大值，故；

对，即，在区间上恒成立，

也即，解得.

则当时，要满足题意，.

④当时，

原不等式等价于显然成立，

故此时.

⑤当时，

原不等式等价于，

因为，

故也等价于或在区间上恒成立，

对，即，在区间上恒成立，

因为在区间上没有最小值，故；

对，即，在区间上恒成立，

即，解得.

则当时，要满足题意，只需.

⑥当时，

原不等式等价于，

显然.

⑦当时，

原不等式等价于，

因为，

则显然.

综上所述，要满足题意，

当时，；当时，；

当时，；时，；

当时，；时，；

当时，.

故要满足对任意的，都有，对以上各种情况下的范围取交集即可，

则.