Question

【题目】已知椭圆的上、下顶点分别为和，且其离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是直线上的一个动点，直线分别交椭圆于两点（四点互不重合），请判断直线是否恒过定点.若过定点，求出定点的坐标；否则，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点.

【解析】

（1）根据题意得，椭圆焦点在轴上，，由离心率，得出，结合即可求出，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设，分别求出，进而得出直线和的方程，联立方程组，分别求出的坐标，即可得出，写出直线的方程，即可得出答案.

解：（1）由题意得出，，则，

又因为，即，解得：，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）点是直线上的一个动点，可设，

又因为和，则，

得出直线的方程为：，直线的方程为：，

设，

联立方程，整理得，

解得：，代入直线得：，

得，

联立方程，整理得，

解得：，带入直线得：，

得，

所以，

则直线的方程为：，

整理得：.

所以直线过定点.