题目内容
f（x）定义域为（0，+∞），且对任意x＞0，y＞0都有f(
)=f(x)-f(y)．当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式 f(x+3)-f(
)＜2．
| x |
| y |
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式 f(x+3)-f(
| 1 |
| x |
分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）依题意，利用单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，再求得f（36）=2，将不等式f（x+3）-f（
）＜2转化为f（x2+3x）＜f（36），利用f（x）在（0，+∞）上的单调性即可求得其解集．
（2）依题意，利用单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，再求得f（36）=2，将不等式f（x+3）-f（
| 1 |
| x |
解答：解：（1）令x=y=1，得f（
）=f（1）-f（1）=0，即f（1）=0；
（2）设0＜x1＜x2，则
＞1，f（
）＞0，
f（x2）-f（x1）=f（
）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
∵f（6）=1，
∴f（6）=f（
）=f（36）-f（6）=1，
∴f（36）=2，
∴原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴
，解得0＜x＜
．
∴不等式f（x+3）-f（
）＜2的解集为{x|0＜x＜
}．
| 1 |
| 1 |
（2）设0＜x1＜x2，则
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
f（x2）-f（x1）=f（
| x2 |
| x1 |
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
∵f（6）=1，
∴f（6）=f（
| 36 |
| 6 |
∴f（36）=2，
∴原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴
|
3
| ||
| 2 |
∴不等式f（x+3）-f（
| 1 |
| x |
3
| ||
| 2 |
点评：本题考查抽象函数的应用，突出考查函数的单调性的判断与一元二次不等式的解法，属于中档题．
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