Question

已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（

1

x

）=(2x-

1

x

)lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求证：?x∈（0，+∞），

x+1

ex

＜1．
（Ⅲ）设g（x）=

x+f(x)

xex

，h（x）=（x²+x）g′（x）．求证：：?x∈（0，+∞），h（x）＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设x＞0，则

1

x

＞0，利用2f（x）+f（

1

x

）=(2x-

1

x

)lnx，可得2f（

1

x

）+f（x）=（x-

2

x

）lnx，由此可得函数解析式，求导函数确定函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（Ⅱ）构造函数F(x)=

x+1

ex

-1，证明函数F（x）在（0，+∞）上单调递减，即可证得结论；
（Ⅲ）h（x）=（x²+x）g′（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），证明p（x）=1-x-xlnx取得最大值1+

1

e2

，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：设x＞0，则

1

x

＞0
∵2f（x）+f（

1

x

）=(2x-

1

x

)lnx，①
∴2f（

1

x

）+f（x）=（x-

2

x

）lnx，②
①×2-②得：3f（x）=3xlnx，∴f（x）=xlnx
由f′（x）=lnx+1=0，可得x=

1

e

由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞

1

e

；由f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜

1

e

∴函数在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增
∴x=

1

e

时，函数取得最小值-

1

e

；
（Ⅱ）证明：构造函数F(x)=

x+1

ex

-1，则F′（x）=-

x

ex

∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＜0
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递减
∴F（x）＜F（0）=0
∴?x∈（0，+∞），

x+1

ex

＜1；
（Ⅲ）证明：∵g（x）=

x+f(x)

xex

，∴g′（x）=

1-x-xlnx

xex

∴h（x）=（x²+x）g′（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），
令p（x）=1-x-xlnx，则p′（x）=-lnx-2
由p′（x）＞0，可得0＜x＜

1

e2

；由p′（x）＜0，可得x＞

1

e2

，
∴函数p（x）在（0，

1

e2

）上单调递增，在（

1

e2

，+∞）上单调递减
∴x=

1

e2

时，p（x）取得最大值1+

1

e2

∵1+

1

e2

＜

4

3

，

x+1

ex

＜1
∴h（x）＜

4

3

•

x+1

ex

＜

4

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性．