Question

已知函数f（x）定义域为（0，+∞）且单调递增，满足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）求f（1）的值；探究用f（x）和n表示f（xⁿ）的表达式（n∈N^*）；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=1，y=4，可求得f（1）=0；再反复利用f（xy）=f（x）+f（y），即可求得f（xⁿ）的表达式（n∈N^*）；
（Ⅱ）利用f（4）=1与f（x）在（0，+∞）上单调递增的性质，可由f（x）+f（x-3）≤1⇒

x(x-3)≤4 x-3＞0 x＞0

，解之即可．

解答：解：（ I）令x=1，y=4，则f（4）=f（1×4）=f（1）+f（4），
∴f（1）=0；
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xⁿ）=f（

x•x…x

n

）=f（x）+f（

x•x…x

n-1

）=2f（x）+f（

x•x…x

n-2

）=…=nf（x）；
（ II）∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴

x(x-3)≤4 x-3＞0 x＞0

，
即

-1≤x≤4 x＞3

，
解得3＜x≤4．
∴x的取值范围为（3，4]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．