Question

已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（

1

x

）=（2x-

1

x

）lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）设g（x）=

x+f(x)

xe2x

，h（x）=（2x²+x）g′（x），求证：?x∈（0，+∞），h（x）＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）令x=

1

x

，构建关于f（x）与f(

1

x

)的方程组，可求得结果．利用导数有关知识即能求得函数的最小值；
（2）利用导数研究函数h（x）在（0，+∞）上的最大值，就能证得结果．

解答：（1）解：令x=

1

x

，代入2f（x）+f（

1

x

）=（2x-

1

x

）lnx    ①
得，2f(

1

x

)+f(x)=(

2

x

-x)ln

1

x

       ②
联立①②解得：f（x）=xlnx
f′(x)=lnx+x•

1

x

=lnx+1
当x∈(0，

1

e

)时，f^′（x）0，函数递增．
∴当x=

1

e

时，函数取到极小值，也是函数的最小值
故最小值为f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

（2）证明：由（1）得g(x)=

x+f(x)

xe2x

=

x+xlnx

xe2x

=

1+lnx

e2x

∴g′(x)=

1 x -2-2lnx

e2x

∴h（x）=（2x²+x）g^′（x）=(2x2+x)

1 x -2-2lnx

e2x

=

(2x+1)(1-2x-2xlnx)

e2x

令p（x）=1-2x-2xlnx
p′(x)=-2-2lnx-2x×

1

x

=-4-2lnx
当x∈(0，

1

e2

)时，p^′（x）＞0，函数递增；当x∈(

1

e2

，+∞)时，p^′（x）＜0，函数递减．
故x=

1

e2

时，函数取到极大值，也是函数的最大值．
即p(x)max=p(

1

e2

)=1+

2

e2

，且1+

2

e2

＜

4

3

同理可求得

2x+1

e2x

＜1
故h(x)＜

2x+1

e2x

×

4

3

＜

4

3

点评：本题主要考查了函数解析式的求法、利用导数研究函数的最值；解题中要熟悉复杂函数的求导；对运算的要求比较高．