Question

12．已知数列{a_n}满足a_n=1，且a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2且n∈N^*）
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是等差数列：
（2）求数列{a_n}的通项公式：
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：$\frac{{S}_{n}}{{3}^{n}}$＞$\frac{3}{2}n$-$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通过将a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2且n∈N^*）两边同时除以3ⁿ，进而整理即得结论；
（2）通过（1）可知{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的通项公式，进而计算可得结论；
（3）通过（2），利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2且n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是首项为$\frac{1}{3}$、公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）=n-$\frac{2}{3}$，
∴a_n=（n-$\frac{2}{3}$）•3ⁿ=$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ；
（3）证明：由（2）可知：
S_n=$\frac{1}{3}$•3+$\frac{4}{3}$•3²+$\frac{7}{3}$•3³+…+$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ，
3S_n=$\frac{1}{3}$•3²+$\frac{4}{3}$•3³+…+$\frac{3n-5}{3}$•3ⁿ+$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2S_n=1+3²+3³+…+3ⁿ-$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ⁺¹
=1+$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ⁺¹
=-$\frac{7}{2}$-$\frac{6n-7}{2}$•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{7}{4}$+$\frac{6n-7}{4}$•3ⁿ，
∴$\frac{{S}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{7}{4•{3}^{n}}$+$\frac{6n-7}{4}$＞$\frac{6n-7}{4}$=$\frac{3}{2}n$-$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．