Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）当时，若时，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对求导后讨论的范围来判断单调性；

（2）构造函数，借助得到，设，使得，设，根据该函数性质即可证明

（1）由题意可知，，，

（i）当时，恒成立，

所以函数在上单调递增；

（ii）当时，令，得，

①当，即时，在上恒成立，

所以函数在上单调递减；

②当，即时，

在上，，函数在上单调递增；

在上，，函数在上单调递减.

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）证明：令，

由题意可得，不妨设.

所以，于是.

令，，则，

，.

令，

则，在上单调递增，

因为，所以，且，

所以，即.