题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
在
上的单调性；
（2）当
时，若
时，求证：
.
【答案】（1）当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数在上单调递减；当
时，函数在
上单调递增，在
上单调递减；（2）证明见解析.
【解析】
（1）对
求导后讨论
的范围来判断单调性；
（2）构造函数
，借助
得到
，设
，使得
，设
，根据该函数性质即可证明
（1）由题意可知，
，
，
（i）当时，
恒成立，
所以函数在上单调递增；
（ii）当
时，令
，得
，
①当
，即
时，
在上恒成立，
所以函数在上单调递减；
②当
，即时，
在
上，
，函数在上单调递增；
在
上，，函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：令，
由题意可得
，不妨设
.
所以
，于是.
令，
，则
，
，.
令，
则
，
在上单调递增，
因为
，所以
，且
，
所以
，即
.
练习册系列答案
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【题目】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
