Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；
（3）连结BD，由PD⊥底ABCD，且PD=CD，得∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，由此能求出直线PB与平面ABCD所成的角．

解答： （1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，
∵点M、N分别是棱AD、PC的中点，
∴QN∥BC∥MD，且QN=MD，
∴四边形MQND是平行四边形，∴DN∥MQ，
∵MQ?平面PMB，DN?平面PMB，
∴DN∥平面PMB．

（2）证明：∵PD⊥底ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB，
又∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，
∴MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
∴MB⊥平面PAD．
∵MB⊥平面PAD，MB?平面PMB，
∴平面PMB⊥平面PAD．

（3）解：连结BD，
∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，
∴△ABD是边长为a的等边三角形，
∵PD⊥底ABCD，且PD=CD，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
又Rt△PBD中，PD=BD=a，∠PBD=45°，
∴直线PB与平面ABCD所成的角为45°．

点评：本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．