Question

14．已知f（x）的值域为[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，则函数y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域为（　　）

• A． [$\frac{7}{9}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{5}{9}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{7}{9}$，$\frac{7}{8}$]
• D． [$\frac{8}{9}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 化简可得$\frac{1}{9}$≤1-2f（x）≤$\frac{1}{4}$，令t=$\sqrt{1-2f（x）}$，t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，从而可得y=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+t=$\frac{-（t-1）^{2}+2}{2}$，从而求值域．

解答 解：∵f（x）的值域为[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，
∴$\frac{1}{9}$≤1-2f（x）≤$\frac{1}{4}$，
令t=$\sqrt{1-2f（x）}$，t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
则f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
故y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$
=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+t=$\frac{-（t-1）^{2}+2}{2}$，
∵t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
∴$\frac{14}{9}$≤-（t-1）²+2≤$\frac{7}{4}$，
∴$\frac{7}{9}$≤$\frac{-（t-1）^{2}+2}{2}$≤$\frac{7}{8}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的值域的求法及换元法的应用．