Question

如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．

（1）若点的横坐标为，求直线的斜率；
（2）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．

Answer 1

（1）（2）不存在直线，使得

试题分析：（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为．
将其代入，整理得 ．
设，，所以 ．     3分
故点的横坐标为．依题意，得，
解得 ．          5分
（Ⅱ）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．

由（Ⅰ）可得 ．               6分
因为 ，所以 ，
解得 ， 即 ．        8分
因为 △∽△，所以 ．
所以 ，     10分
整理得 ．
因为此方程无解，所以不存在直线，使得 ．        12分
点评：直线与椭圆相交时常联立方程借助于方程根与系数的关系整理化简，此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据处理能力